2-2

p_⊗q_:=KroneckerProduct[p,q]

adj[x_]:=Conjugate[Transpose[x]]

Partial Traces as Operations

Nicholas Wheeler
11 February 2013

Introduction

I have recently been concerned on the one hand with partial traces, and on the other hand with "quantum operations" in the sense of Kraus. I write today in pursuit of a remark that caught my eye yesterday, to the effect that partial trace constructions are (in the sense that they can be displayed as) operations.

Demonstration of the point at issue

Partial traces pertain to square matrices of composite dimension. Let us agree to work in (Subscript[ℋ, 6])=(Subscript[ℋ, 2])⊗(Subscript[ℋ, 3]).  Let

𝔸=(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}}));
𝔹=(({{(Subscript[b, 11]), (Subscript[b, 12]), (Subscript[b, 13])}, {(Subscript[b, 21]), (Subscript[b, 22]), (Subscript[b, 23])}, {(Subscript[b, 31]), (Subscript[b, 32]), (Subscript[b, 33])}}));
ℂ=(({{(Subscript[c, 11]), (Subscript[c, 12]), (Subscript[c, 13]), (Subscript[c, 14]), (Subscript[c, 15]), (Subscript[c, 16])}, {(Subscript[c, 21]), (Subscript[c, 22]), (Subscript[c, 23]), (Subscript[c, 24]), (Subscript[c, 25]), (Subscript[c, 26])}, {(Subscript[c, 31]), (Subscript[c, 32]), (Subscript[c, 33]), (Subscript[c, 34]), (Subscript[c, 35]), (Subscript[c, 36])}, {(Subscript[c, 41]), (Subscript[c, 42]), (Subscript[c, 43]), (Subscript[c, 44]), (Subscript[c, 45]), (Subscript[c, 46])}, {(Subscript[c, 51]), (Subscript[c, 52]), (Subscript[c, 53]), (Subscript[c, 54]), (Subscript[c, 55]), (Subscript[c, 56])}, {(Subscript[c, 61]), (Subscript[c, 62]), (Subscript[c, 63]), (Subscript[c, 64]), (Subscript[c, 65]), (Subscript[c, 66])}}));

(Subscript[𝕀, 2])=IdentityMatrix[2];
(Subscript[𝕀, 3])=IdentityMatrix[3];

Table[(Subscript[e, j])=Transpose[{(Subscript[𝕀, 2])[[j]]}],{j,1,2}];
Table[(Subscript[f, k])=Transpose[{(Subscript[𝕀, 3])[[k]]}],{k,1,3}];

Table[MatrixForm[(Subscript[e, j])],{j,1,2}]
Table[MatrixForm[(Subscript[f, k])],{k,1,3}]

(Subscript[Tr, A])[x_]:=(∑_(j=1)^2)(Transpose[(Subscript[e, j])]⊗(Subscript[𝕀, 3])).x.((Subscript[e, j])⊗(Subscript[𝕀, 3]))
(Subscript[Tr, B])[x_]:=(∑_(k=1)^3)((Subscript[𝕀, 2])⊗Transpose[(Subscript[f, k])]).x.((Subscript[𝕀, 2])⊗(Subscript[f, k]))

We then have

𝔸𝔹=𝔸⊗𝔹;
𝔸𝔹//MatrixForm

(Subscript[Tr, A])[𝔸𝔹]==Tr[𝔸]𝔹//Simplify
(Subscript[Tr, B])[𝔸𝔹]==𝔸 Tr[𝔹]//Simplify

…which illustrate the familiar rudiments of partial trace theory.

Look now to the rectangular matrices

Table[(Subscript[ℙ, j])=Transpose[(Subscript[e, j])]⊗(Subscript[𝕀, 3]),{j,1,2}];
Table[MatrixForm[(Subscript[ℙ, j])],{j,1,2}]

and observe that we can write

(Subscript[Tr, A])[ℂ]==(∑_(j=1)^2)(Subscript[ℙ, j]).ℂ.adj[(Subscript[ℙ, j])]

Look similarly to

Table[(Subscript[ℚ, k])=(Subscript[𝕀, 2])⊗Transpose[(Subscript[f, k])],{k,1,3}];
Table[MatrixForm[(Subscript[ℚ, k])],{k,1,3}]

and obtain

(Subscript[Tr, B])[ℂ]==(∑_(k=1)^3)(Subscript[ℚ, k]).ℂ.adj[(Subscript[ℚ, k])]

Observe finally that

(∑_(j=1)^2)adj[(Subscript[ℙ, j])].(Subscript[ℙ, j])==IdentityMatrix[6]
(∑_(k=1)^3)adj[(Subscript[ℚ, k])].(Subscript[ℚ, k])==IdentityMatrix[6]

which establishes that the ℙ and ℚ matrices are Kraus matrices, and that

are Kraus operations.  

Kraus operations were originally intended to send density matrices to density matrices in the most general possible way. In my own experience they have invariably been used to send density matrices to density matrices of the same dimension, but we see now that the latter proviso can be dropped. Kraus matrices need not be square: they can be rectangular.